Составители:
108
где
n
c и
n
c
−
определяются формулами (3) и (5) соответственно.
Подынтегральные функции в формулах (3) и (5) являются аналитиче-
скими всюду в
K
, поэтому, согласно теореме Коши, интегралы не изменятся,
если вместо
1
C и
2
C взять любую окружность в
K
с центром в точке
0
z
(или любой замкнутый контур в
K
, охватывающий точку
0
z !).
Тогда формулы (3) и (5) можно объединить:
()
()
∫
+
+
−
=
С
n
n
d
z
f
i
c
ξ
ξ
ξ
π
1
0
2
1
, K,2,1,0
±
±
=
n . (7)
Отсюда получаем
()
() () ()
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
zzczzczzczf
0
1
0
0
0
−=−+−=
∑∑∑
+
∞
=
−∞=
∞
=
−
−
∞
=
. (8)
Так как
z - произвольная точка кольца
K
, то ряд (8) сходится к функ-
ции
()
zf всюду в
K
. Этот ряд называется рядом Лорана.
Часть ряда Лорана, содержащая неотрицательные степени
()
0
zz
−
, то
есть ряд
()
∑
∞
=
−
0
0
n
n
n
zzc ,
называется его
правильной частью, а та часть, которая содержит отрицатель-
ные степени
()
0
zz
−
, то есть ряд
()
∑
∞
=
−
−
1
0
n
n
n
zz
c
–
главной частью.
Сходимость ряда Лорана – это одновременная сходимость его правиль-
ной и главной частей.
Рассмотрим теперь произвольный ряд Лорана:
()
n
n
n
n
zzc
0
−
∑
+
∞
=
−∞=
и выясним, какова его область сходимости.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- …
- следующая ›
- последняя »
