Составители:
109
Правильная часть – степенной ряд
()
∑
∞
=
−
0
0
n
n
n
zzc - будет, очевидно,
абсолютно сходиться в круге
20
Rzz
<
−
,
2
R - радиус сходимости (а в кон-
центрическом круге меньшего радиуса сходимость будет равномерной).
Главную часть, то есть ряд
()
∑
∞
=
−
−
1
0
n
n
n
zz
c
, можно так же рассматривать
как обыкновенный степенной ряд, если положить
z
zz
′
=
−
0
1
.
Тогда
()
∑∑
∞
=
−
∞
=
−
′
=
−
11
0
n
n
n
n
n
n
zc
zz
c
.
Если радиус сходимости последнего (степенного) ряда обозначить
1
1
R
,
то его круг сходимости:
1
1
R
z <
′
, откуда
10
11
Rzz
<
−
, или
10
Rzz >− . Это и
будет область сходимости главной части.
– Если
21
R
R
<
, то область сходимости ряда Лорана – кольцо
201
RzzR
<
−< , причем внутри кольца сходимость равномерная.
– Если
21
RR = , то ряд Лорана может сходиться лишь в точках окружности.
– Если
21
R
R
>
, то ряд Лорана всюду расходится.
Замечание 1. Подобно разложению Тейлора, разложение в ряд Лорана
для данной функции
()
zf
в данном кольце единственно.
Замечание 2. Как и для ряда Тейлора имеют место аналогичные оценки
коэффициентов ряда Лорана:
(
)
n
n
z
M
c
ρ
ρ
;
0
≤
, K,2,1,0
±
±
=
n
где
()
()
ξ
ρ
ξ
fzM
C∈
= max;.
0
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- …
- следующая ›
- последняя »
