Составители:
110
Пример 1. Рассмотрим функцию
()
23
1
2
+
−
=
zz
zf .
Получая корни знаменателя, представим
(
)
zf в виде
()
()()
1
1
2
1
21
1
−
−
−
=
−−
=
zzzz
zf
.
В точках 1=
z и 2=z функция
(
)
zf не определена.
Пусть требуется разложить данную
функцию в ряд Лорана по степеням
z
(то есть в окрестности точки 0
0
=
z ) в областях:
1)
1<z ;
2)
21 << z ;
3)
2>z (см. рис. 2).
Заметим, что каждую из этих областей можно считать кольцом, а
(
)
zf
- аналитическая в каждой области.
Решение. 1)
1<z - кольцо с 0
1
=
R и 1
2
=
R .
Будем преобразовывать каждую дробь в представлении функции
(
)
zf
так, чтобы привести ее к виду суммы бесконечно убывающей по модулю
геометрической прогрессии. Имеем
()
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
z
zzzzz
zf
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
.
Так как
1<z и, очевидно, 1
2
<
z
, то обе дроби можно разложить в
ряд. Тогда
()
∑∑∑
∞
=
+
∞
=
∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
0
1
00
2
1
1
22
1
n
n
n
n
n
n
n
z
z
zzf
.
x
Рис. 2
y
0
1)
2)
3)
1 2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- …
- следующая ›
- последняя »
