Составители:
112
§4. Изолированные особые точки аналитической функции
Мы называли функцию
(
)
zf аналитической в точке
0
z , если она ана-
литическая в некоторой окрестности
0
z , то есть внутри круга с центром в
точке
0
z
. Такая точка
0
z
называется правильной точкой, а всякая неправиль-
ная точка называется особой.
Например, для функции
()
2
1
1
z
zf
+
= ,
точки iz
=
1
и iz −=
2
являются особыми, а все точки 1:
2
−≠zz – правиль-
ными.
Так как степенной ряд внутри круга сходимости представляет собой
аналитическую функцию, то все точки внутри круга сходимости являются
правильными для функции
(
)
zf , представимой этим рядом. Что же касается
границы круга сходимости, то справедлива теорема:
Теорема 1. На границе круга сходимости степенного ряда лежит хотя
бы одна особая точка аналитической функции
(
)
zf , к которой сходится дан-
ный ряд.
С доказательством этой теоремы можно ознакомиться в работе [1].
Таким образом, если точка
0
z
- правильная точка функции
(
)
zf
, то эта
функция раскладывается в степенной ряд по степеням
()
0
zz − , причем ок-
ружность круга сходимости имеет центр в точке
0
z и проходит через бли-
жайшую к
0
z особую точку. Основываясь на этом выборе, можно легко по-
лучать круг сходимости степенного ряда, представляющего функцию
(
)
zf .
Пример 1. Пусть дана функция
()
z
z
zf
21
2
−+
=
.
Так как ее производная имеет вид
()
22
2
1
112
zz
z
zf
+
−+
=
′
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- …
- следующая ›
- последняя »
