Составители:
113
то особыми точками этой функции являются точки
0
1
=
z , iz
=
2
, iz
−
=
3
.
Пусть требуется разложить данную функцию в ряд Тейлора по степе-
ням
(
)
iz
−
−
1 , то есть iz += 1
0
. В этом случае
кругом сходимости будет круг, состоящий из
правильных точек функции, а на границе этого
круга будет находиться ближайшая к
0
z осо-
бая точка. Этой точкой является точка
iz
=
2
(см. рис. 1).
Следовательно, кругом сходимости указанного ряда будет круг
11
<
−
−
iz .
Следствие. В § 3 установлено, что областью сходимости ряда Лорана
является кольцо
201
RzzR
<
−
<
.
Из теоремы 1 следует, что на каждой окружности, ограничивающей
кольцо, имеется, по крайней мере, по одной особой точке функции, являю-
щейся суммой ряда Лорана.
Пример 2. Пусть функцию
()
z
z
zf
21
2
−+
=
(рассмотренную в при-
мере 1) требуется разложить в ряд Лорана по степеням
iz −− 1 . Тогда вся
комплексная плоскость будет разбита
на кольца так, чтобы на границах
этих колец находилась особая точка:
11
<
−
−
iz ,
211 <−−< iz ,
512 <−−< iz ,
51 >−− iz (см. рис.2).
Рис. 1
z
0
0 Re z
i
-i
1
Im z
z
2
z
1
z
3
2
5
Рис. 2
z
0
0
x
i
-i
1
y
z
2
z
1
z
3
1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- …
- следующая ›
- последняя »
