Составители:
115
2. Точка
0
z называется полюсом, если главная часть ряда Лорана для
()
zf в кольце
K
содержит конечное число отличных от нуля коэф-
фициентов. При этом, наибольшее
n , при котором 0≠
−n
c называ-
ется
порядком полюса. При 1
=
n полюс называется простым.
3. Точка
0
z называется существенно особой, если главная часть ряда
Лорана для
()
zf в кольце
K
содержит бесконечное число отличных
от нуля членов.
Пример 4. а) для функции
()
z
z
zf
sin
=
точка
0
0
=
z
является изолиро-
ванной особой. Разложение данной функции в ряд Лорана в окрестности
0
z
имеет вид
KK +−+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−+−=
!7!5!3
1
!7!5!3
1sin
642753
zzzzzz
z
zz
z
.
В разложении отсутствует главная часть. Следовательно,
0
0
=
z
- уст-
ранимая особая точка.
б) рассмотрим функцию
()
6
sin
z
z
zf =
.
Имеем
KK +−
⋅
+
⋅
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−+−=
!7
1
!5
1
!3
11
!7!5!3
1sin
35
753
66
z
zz
zzz
z
zz
z
.
Значит, изолированная особая точка
0
0
=
z
для данной функции явля-
ется полюсом пятого порядка.
в) разложение функции
()
z
zf
1
sin=
в окрестности 0
0
=z имеет вид
K+−
⋅
+
⋅
−=
!7
1
!5
1
!3
111
sin
753
zzz
zz
,
откуда вытекает, что
0
z - существенно особая точка.
Укажем для каждого вида изолированной особой точки необходимый и
достаточный признак существования (критерий).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- …
- следующая ›
- последняя »
