Составители:
117
к нулю, получаем, что
0
=
−n
c для всех
N
n
∈
. Следовательно,
0
z – устрани-
мая особая точка.
Теорема полностью доказана.
Замечание. Если доопределить функцию
(
)
zf в точке
0
z , полагая
()
00
czf = , то получим функцию, аналитическую в круге Rzz
<
−
0
. Тем
самым устранена особенность в точке
0
z (отсюда название особой точки –
устранимая).
Теорема 3. (критерий полюса)
Для того, чтобы изолированная особая точка
0
z была полюсом, необ-
ходимо и достаточно, чтобы
(
)
∞
=
→
z
f
zz
0
lim . (3)
Доказательство.
Необходимость. Пусть
0
z
- полюс порядка n
функции
()
zf . Следовательно, разложение этой функции в ряд Лорана в ок-
рестности точки
0
z имеет вид
()
()()
()
KK +−++
−
++
−
+
−
=
−
−
+−−
010
0
1
1
0
1
0
zzcc
zz
c
zz
c
zz
c
zf
n
n
n
n
,
где
0≠
−n
c . Далее вынося за скобки множитель
()
n
zz
0
1
−
, получим пред-
ставление
()
()
()
z
zz
zf
n
ϕ
⋅
−
=
0
1
,
где
()
(
)
(
)
K
+
−
+
−+=
+−+−− 0201
zzczzccz
nnn
ϕ
, причем
()
0lim
0
≠
=
−
→
n
zz
cz
ϕ
.
Тогда
()
(
)
()
∞=
−
=
→→
n
zzzz
zz
z
zf
0
00
limlim
ϕ
.
Достаточность. Пусть
(
)
∞
=
→
z
f
zz
0
lim , тогда для любого числа 0>
A
можно указать такую проколотую
ε
-окрестность точки
0
z
, в которой
()
Azf > . Рассмотрим функцию
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- …
- следующая ›
- последняя »
