Составители:
119
Это означает, что
0
z - полюс порядка n .
Теорема доказана.
Замечание. Из доказательства теоремы получается важный вывод о
связи между нулями и полюсами аналитических функций:
Если точка
0
z является нулем порядка n для аналитической функции
()
zg , то она будет полюсом того же порядка для функции
()
()
zg
zf
1
=
, и на-
оборот.
Теорема 4. (теорема Сохоцкого).
Для того, чтобы изолированная точка
0
z была существенно особой, не-
обходимо и достаточно, чтобы для любого (конечного или бесконечного)
комплексного числа
А нашлась последовательность
{
}
n
z , сходящаяся к
0
z ,
такая, что
(
)
A
z
f
n
z
n
z
=
→
0
lim . (4)
Доказательство.
Необходимость. Пусть
0
z - существенно особая
точка функции
()
zf . Рассмотрим два случая:
1.
∞=
A
. Функция
(
)
zf не ограничена по модулю в окрестности точ-
ки
0
z (в противном случае
0
z была бы устранимой особой точкой). Следова-
тельно, в указанной окрестности найдется точка
1
z , для которой
(
)
1
1
>zf и
10
01
<−< zz .
Аналогично, найдется точка
2
z , для которой
()
2
2
>zf и
2
1
0
02
<−< zz
.
И так далее. В результате построена последовательность
{}
n
z ,
{}
0
zz
n
→ , та-
кая, что
(
)
∞=
→
n
zz
zf
n 0
lim .
2. Пусть
∞≠
A
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- …
- следующая ›
- последняя »
