Составители:
121
Решение. а)
()
π
−
=
z
z
zf
sin
. Так как функция zsin - аналитическая на
всей комплексной плоскости, то функция
(
)
zf
будет иметь одну особую точ-
ку
π
=z . Рассмотрим
(
)
1
sin
lim
sin
lim −=
−
−
−
=
−
→→
π
π
π
ππ
z
z
z
z
zz
.
Применяя теорему 2, получаем, что точка
π
=
z является устранимой
особой точкой для данной функции.
б)
()
()()
2
22
11
1
−+
−
=
zz
e
zf
z
. Разложим знаменатель на множители. Получим
()
()()( )( )
22
11
1
+−−+
−
=
zziziz
e
zf
z
.
Точки
iz
=
1
,
iz −=
2
,
1
3
=
z
,
1
4
−
=
z
являются изолированными осо-
быми точками для данной функции. Поскольку числитель в этих точках от-
личен от нуля, то предел рассматриваемой функции, когда
z стремится к ка-
ждой из этих точек, равен
∞
. Следовательно, все точки являются полюсами.
Для определения порядков этих полюсов рассмотрим функцию
()
zf
1
.
Имеем
()
(
)
(
)
(
)
(
)
1
111
22
−
+−−+
=
z
e
zziziz
zf
.
Для рассмотрения характера точки
iz
=
1
представим
()
zf
1
в виде
()
()
(
)
(
)
(
)
1
111
22
−
+−+
⋅−=
z
e
zziz
iz
zf
.
Поскольку сомножитель
(
)
(
)
(
)
1
11
22
−
+−+
z
e
zziz
в точке iz =
1
не обра-
щается в нуль (проверьте), точка
iz
=
1
является нулем первого порядка для
функции
()
zf
1
, а значит, простым полюсом для функции
()
zf
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- …
- следующая ›
- последняя »
