Теория функций комплексного переменного. Александрова Е.Б - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

120
Если сколь угодно близко к
0
z существует точка z такая, что имеем
()
Azf = , то существует последовательность
{
}
n
z такая, что условие (4) вы-
полнено.
Если в достаточно малой окрестности точки
0
z
функция
()
zf
не равна
A
, тогда функция
()
()
A
zf
z −=
1
ϕ
- аналитическая в этой окрестности точки
0
z , кроме самой точки
0
z . Точка
0
z для функции
(
)
z
ϕ
является изолирован-
ной особой точкой, причем она не может быть ни устранимой точкой, ни по-
люсом (в противном случае,
(
)
z
ϕ
в точке
0
z имела бы конечный или беско-
нечный предел, следовательно,
()
()
z
Azf
ϕ
1
+=
также имела бы конечный
или бесконечный предел. Следовательно,
0
z не была бы для
()
zf сущест-
венно особой).
Итак, точка
0
z
- существенно особая для
(
)
z
ϕ
, тогда на основании до-
казанного существует последовательность
{
}
0
zz
n
→ такая, что
(
)
∞
=
→
n
z
n
z
z
0
lim ,
следовательно,
(
)
A
z
f
n
z
n
z
=
→
0
lim
.
Достаточность. Пусть выполнено (4). Это означает, что в точке
0
z
функция
()
zf
не имеет ни конечного, ни бесконечного предела. Поэтому
0
z
не может быть ни устранимой точкой, ни полюсом. Значит,
0
z - существенно
особая точка.
Пример 5. Найти особые точки функций и указать их тип:
а)
()
π
−
=
z
z
zf
sin
; б)
()
()()
2
22
11
1
−+
−
=
zz
e
zf
z
; в)
()
i
z
zf
+
=
1
cos .

Страницы