Теория функций комплексного переменного. Александрова Е.Б - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

123
Определение 2. Назовем точку
∞
=
z для функции
()
zf устранимой
особой, полюсом или существенно особой, если таковой является точка
0=w для функции
()
w
ϕ
.
Пример 1. Определить характер особой точки
∞
=
z для функции
()
z
e
z
zf
2
1 +
=
.
Решение. Точка
∞
=z является изолированной особой точкой данной
функции, так как у нее нет других особых точек, а значит, для любого поло-
жительного числа
R
в круге Rz > никаких особых точек этой функции не
содержится.
Рассмотрим функцию
()
ww
ew
w
e
w
w
fw
1
2
2
1
2
1
1
1
1 +
=
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
ϕ
.
Раскладывая функцию
(
)
w
ϕ
в степенной ряд в окрестности точки
0=w , получим:
()
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+−=+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
−−−
K
2
1
2
11
2
!2
11
1
11
1
w
w
e
w
ee
w
w
www
ϕ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+−+
K
22
!2
11
1
1
w
w
w
.
Из полученного разложения следует, что точка
0=w является сущест-
венно особой точкой для
(
)
w
ϕ
. Следовательно, точка
∞=z
является сущест-
венно особой точкой функции
(
)
zf .
Пример 2. Найти все особые точки функции
()
()
3
5
1 z
z
zf
−
=
и указать
их характер.
Решение. Изолированными особыми точками функции
()
zf
являют-
ся точки
1=z и ∞=z .

Страницы