Составители:
125
() () ()
dzzf
i
df
i
czf
CC
z
∫∫
++
===
−
π
ξξ
π
2
1
2
1
Res
1
0
, (3)
где
C
- любой замкнутый контур (в частности – окружность), содержащий
внутри себя точку
0
z , обходимый так, что область, ограниченная этим кон-
туром, остается слева (против часовой стрелки).
Пример 1. Найти вычет функции
()
()
4
iz
e
zf
z
−
=
в точке
iz =
0
.
Решение. Точка
iz
=
0
является изолированной особой точкой. В си-
лу того, что
0
≠
i
e , эта точка – полюс четвертого порядка. По формуле (3)
имеем
() ()
dz
iz
e
i
iz
e
C
zz
i
∫
+
−
=
−
44
2
1
Res
π
,
где в качестве
C
можно взять, например, окружность 1=− iz . Для вычисле-
ния интеграла воспользуемся формулой Коши:
()
i
iz
z
C
z
eedz
iz
e
i 6
1
)(
!3
1
2
1
4
=
′′′
=
−
=
+
∫
π
.
Следовательно,
()
()
1sin1cos
6
1
6
1
Res
4
ie
iz
e
i
z
i
+==
−
.
Замечание. Вычет функции
(
)
zf в точке
0
z может быть отличным от
нуля только в том случае, если
0
z - полюс или существенно особая точка.
В случае, когда
0
z - полюс функции
(
)
zf , вычет может быть найден не
интегрированием по формуле (3), а более простым способом.
1. Вычисление вычета в простом полюсе.
Пусть точка
0
z - полюс первого порядка функции
()
zf (простой по-
люс).
Тогда ряд Лорана в окрестности этой точки имеет вид
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- …
- следующая ›
- последняя »
