Составители:
126
()
()()
K+−+−++
−
=
−
2
02010
0
1
zzczzcc
zz
с
zf .
Умножим обе части последнего равенства на
0
zz
−
, получим
()
()
(
)
(
)
(
)
K+−+−+−+=−
−
3
02
2
010010
zzczzczzcczzzf .
Перейдем к пределу при
0
zz → . Тогда
(
)
(
)
(
)
0
0
1
0
limRes zzz
f
cz
f
zz
z
−
=
=
→
−
. (4)
Пример 2. Найти вычеты функции
()
1
1
2
+
=
z
zf
в ее конечных особых
точках.
Решение. Представляя функцию
(
)
zf в виде
()
()()
iziz
z
zf
−+
=
+
=
1
1
1
2
,
получаем, что изолированными особыми точками данной функции являются
точки
iz =
1
и iz −=
2
, причем обе эти точки представляют собой простые по-
люсы. Тогда по формуле (4) находим
()
22
11
lim
1
1
lim
1
1
Res
22
i
iiz
iz
zz
iziz
i
−==
+
=−
+
=
+
→→
;
()
22
11
lim
1
1
lim
1
1
Res
22
i
iiz
iz
zz
iziz
i
=−=
−
=+
+
=
+
−→−→
−
.
Можно получить еще одну формулу для вычисления вычета в простом
полюсе. В этом случае функция
(
)
zf
представима в виде
()
(
)
()
z
z
zf
ψ
ϕ
= ,
где
()
z
ϕ
и
()
z
ψ
- аналитические функции,
(
)
0
0
≠
z
ϕ
, а для функции
(
)
z
ψ
точ-
ка
0
z
является нулем первого порядка. Тогда из равенства (4) имеем:
() ()
()
(
)
()
()
()
()
()
(
)
()
0
0
0
0
00
000
0
limlimlimRes
z
z
zz
zz
z
zz
z
z
zzzfzf
zzzzzz
z
ψ
ϕ
ψψ
ϕ
ψ
ϕ
′
=
−
−
=−=−=
→→→
.
Таким образом, получили формулу
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- …
- следующая ›
- последняя »
