Составители:
128
Пример 4. Найти вычет функции
()
()
3
2
1
1
+
=
z
zf
в точке iz
−
=
0
.
Решение. Точка
iz
−
=
0
является полюсом третьего порядка функции
()
zf
(обоснуйте самостоятельно), то есть 3
=
n . По формуле (6) находим:
()
()
() ()
=
′
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
″
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
″
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⋅
+
=
−→−→−→
−
43
3
3
2
1
3
lim
2
11
lim
2
1
1
1
lim
!2
1
iziz
iz
z
c
iziziz
() ()
i
iiz
iz
16
3
2
12
2
112
lim
2
1
55
=
−
⋅=
−
=
−→
.
Теорема о вычетах (основная теорема теории вычетов). Пусть функ-
ция
()
zf является аналитической всюду в замкнутой области
D
за исключе-
нием конечного числа изолированных особых точек
k
z ,
N
k
,,2,1 K= , ле-
жащих внутри области
D . Тогда
() ()
zfidzzf
N
k
k
z
∑
∫
=
+
=
1
Res2
π
γ
, (7)
где
+
γ
- граница области D , проходимая в положительном направлении (об-
ласть
D остается слева)
Доказательство. Окружим каждую точку
k
z ,
N
k
,,2,1 K= ок-
ружностью
k
c настолько малого радиуса, чтобы ограниченные ими замкну-
тые круги лежали внутри
D
и попарно не пересекались (см. рис.1).
Тогда по теореме Коши для много-
связной области имеем
() ()
∑
∫∫
=
++
=
N
k
k
c
dzzfdzzf
1
γ
,
где
+
k
c - окружности
k
c , обходимые против
часовой стрелки. В силу формулы (3) по-
лучаем утверждение теоремы
+
N
с
+
2
с
+
1
с
γ
+
D
z
N
z
1
z
2
Рис. 1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- …
- следующая ›
- последняя »
