Составители:
130
Понятие вычета можно распространить на случай бесконечно удален-
ной точки. Предположим, что
∞
=
z является изолированной особой точкой
функции
()
zf и обозначим через
C
произвольный замкнутый контур, лежа-
щий целиком в окрестности этой точки, например, за
C
можно взять окруж-
ность достаточно большого радиуса.
По-прежнему, условимся называть вычетом функции
()
zf относитель-
но бесконечно удаленной точки значение интеграла:
() ()
dzzf
i
zf
C
∫
−
∞
=
π
2
1
Res
, (8)
с той лишь разницей, что интегрирование совершается теперь по контуру
C
в отрицательном направлении, так как контур
C
нужно проходить по часо-
вой стрелке, чтобы точка
∞
=
z
оставалась слева.
Тогда
() () ()
1
2
1
2
1
Res
−
+−
∞
−=−==
∫∫
cdzzf
i
dzzf
i
zf
C
C
ππ
, (9)
то есть вычет функции в бесконечно удаленной точке равен коэффициенту
при первой отрицательной степени разложения Лорана в окрестности этой
точки, взятому с противоположным знаком.
Из теоремы о вычетах и формулы (9) получаем
() () ()
zfidzzfzfi
N
k
k
z ∞
+
=
−==
∫
∑
Res2Res2
1
ππ
γ
.
Следовательно,
() ()
0Res2Res2
1
=+
∞
=
∑
zfizfi
N
k
k
z
ππ
.
Таким образом, справедлива
Теорема. Пусть функция
(
)
zf
является аналитической на комплексной
плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек
k
z
(
)
1,,2,1
+
= Nk K , включая точку
∞
=
+1N
z . Тогда
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- …
- следующая ›
- последняя »
