Составители:
129
() ()
zfidzzf
N
k
k
z
∑
∫
=
+
=
1
Res2
π
γ
.
Доказанная теорема о вычетах имеет большое практическое значение.
Во многих случаях оказывается проще вычислить вычеты функции
(
)
zf в
особых точках, лежащих внутри контура интегрирования, чем непосредст-
венно вычислить интеграл, стоящий в левой части формулы (7).
Пример 5. Вычислить интеграл
∫
+
−
C
z
dz
1
4
,
где
C
- окружность 21 =−− iz , проходимая в положительном направле-
нии.
Решение. Представим подынтегральную функцию в виде
()
()()()()
izizzz
z
zf
+−+−
=
−
=
11
1
1
1
4
.
Особые точки этой функции,
1
1
=z , 1
2
−
=
z ,
iz
=
3
, iz
−
=
4
, являются простыми полюсами,
причем внутри контура интегрирования содер-
жатся лишь две из них:
1
z и
3
z (см. рис.2). тогда
по теореме о вычетах находим.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=
−
∫
+
1
1
Res
1
1
Res2
1
44
1
4
zz
i
z
dz
i
C
π
.
Вычислим вычеты функции
(
)
zf в точках
1
z и
3
z .
()
()()()
4
1
1
1
lim1
1
1
lim
1
1
Res
1
4
1
4
1
=
+−+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅
−
=
−
→→
izizz
z
zz
zz
.
()
()()()
44
1
11
1
lim
1
1
lim
1
1
Res
44
i
iizzz
iz
zz
iziz
i
=−=
++−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅
−
=
−
→→
.
Следовательно,
iii
z
dz
C
224
1
4
1
2
1
4
π
π
π
+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
−
∫
+
.
Рис. 2
z
0 x
i
-i
1
y
C
-1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- …
- следующая ›
- последняя »
