Составители:
127
()
(
)
()
0
0
0
Res
z
z
zf
z
ψ
ϕ
′
= . (5)
Пример 3. Найти вычет функции
(
)
zzf ctg
=
в точке 0
0
=z .
Решение. Данная функция имеет вид
()
z
z
zf
sin
cos
= . Так как
010cos ≠= , а для функции zsin точка 0
0
=
z является простым нулем (дей-
ствительно,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−=−+−= KK
!5!3
1
!5!3
sin
4253
zz
z
zz
zz
), то
0
z - простой
полюс для
zctg . Применим формулу (5) и получим:
()
1
0cos
0cos
sin
0cos
ctgRes
0
0
==
′
=
=z
z
z
.
2. Вычисление вычета в кратном полюсе.
Пусть точка
0
z - полюс функции
(
)
zf порядка n . Тогда ряд Лорана
имеет вид
()
()()
()
KK +−++
−
++
−
+
−
=
−
−
+−−
010
0
1
1
0
1
0
zzcc
zz
c
zz
c
zz
c
zf
n
n
n
n
.
Умножив обе части этого равенства на
(
)
n
zz
0
− , получим
()
()
(
)
(
)()
KK +−+−++−+=−⋅
−
−+−−
nn
nn
n
zzczzczzcczzzf
00
1
01010
.
Продифференцировав последнее равенство
1
−
n раз, будем в правой
части иметь обыкновенный степенной ряд, свободный член которого:
()
!1
1
−
−
nc
.
Переходя к пределу при
0
zz → , получаем
()
()
[
]
()
!1lim
10
1
1
0
−=−
−
−
−
→
nczzzf
dz
d
n
n
n
zz
.
Отсюда находим:
()
()
()
[]
n
n
n
zz
zzzf
dz
d
n
с
0
1
1
0
1
lim
!1
1
−
−
=
−
−
→
−
. (6)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- …
- следующая ›
- последняя »
