Составители:
116
Теорема 2. (критерий устранимой особой точки)
Для того чтобы изолированная особая точка
0
z функции
(
)
zf была
устранимой необходимо и достаточно выполнение одного из двух условий:
а) существует конечный предел
(
)
z
f
zz
0
lim
→
; (1)
б) функция
()
zf
ограничена по модулю в проколотой окрестности точ-
ки
0
z , то есть
()
Mzf
<
при
10
0 Rzz
<
−
<
. (2)
Доказательство. Покажем, что из устранимости особой точки сле-
дует условие а); из условия а) следует условие б); а из условия б) следует, что
0
z - устранимая особая точка.
1) Пусть
0
z
- устранимая особая точка функции
()
zf
. Тогда в коль-
це
K
разложение
()
zf в ряд Лорана имеет вид
()
(
)
(
)
K+−+−+=
2
02010
zzczzcczf .
Переходя к пределу при
0
zz →
, получаем
()
0
0
lim czf
zz
=
→
, то есть вы-
полнено условие а).
2) Если существует конечный предел
()
0
0
lim czf
zz
=
→
, то из этого,
очевидно, следует ограниченность по модулю функции
()
zf в окрестности
точки
0
z . Следовательно, выполнено условие б).
3) Пусть
()
Mzf < в проколотой окрестности точки
0
z :
10
0 Rzz <−< . Воспользуемся неравенством Коши для коэффициентов ряда
Лорана с отрицательными номерами
n
n
M
c
−
−
<
ρ
;
n
n
Mc
ρ
<
−
,
N
n
∈
,
где
ρ
можем выбирать так чтобы окружность
ρ
=
−
0
: zzс лежала в кольце
10
0 Rzz <−< , то есть
1
R<
ρ
. Так как
n
c
−
не зависит от
ρ
, то устремляя
ρ
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- …
- следующая ›
- последняя »
