Составители:
105
() ()
[]
K+−+−=
+ 010
zzcczz
kk
k
.
Функция
()
(
)
K
+
−
+=
+ 01
zzccz
kk
ϕ
является аналитической в окре-
стности точки
0
z , причем
(
)
0
0
≠
z
ϕ
.
Тогда
()
()
(
)
zzzzf
k
ϕ
0
−= .
В силу непрерывности функции
(
)
z
ϕ
существует окрестность точки
0
z
,
в которой
()
0
≠
z
ϕ
. Следовательно, в этой окрестности функция
(
)
zf обра-
тится в нуль только в точке
0
z . Это свойство называется свойством изолиро-
ванности нулей аналитической функции. На основании этого свойства можно
доказать теорему [1].
Теорема 1. Если функция
(
)
zf - аналитическая в области
D
и ее нули
образуют последовательность
{
}
n
z , сходящуюся к
0
z , причем Dzz
n
∈
,
0
,
K,2,1=n , то функция
()
zf
тождественно равна нулю в D .
Из теоремы 1 вытекает весьма важная в теории функций комплексного
переменного теорема, так называемая теорема единственности:
Теорема 2. Пусть функции
(
)
zf и
(
)
z
ϕ
являются аналитическими в
области D . Если в D существует сходящаяся к некоторой точке Dz
∈
0
по-
следовательность
{}
n
z
, причем
(
)
(
)
nn
zzf
ϕ
=
, K,2,1
=
n , то
()
(
)
zzf
ϕ
≡
в D .
Для доказательства теоремы 2 достаточно установить, что функция
(
)
(
)
0
≡
−
zz
f
ϕ
в D .
Следствие 1. Если функции
(
)
zf и
(
)
z
ϕ
, аналитические в области D ,
совпадают на некоторой кривой
l , принадлежащей данной области , то
() ()
zz
f
ϕ
≡ в
D
.
Следствие 2. Если функции
(
)
zf
1
и
(
)
zf
2
, аналитические в областях
1
D
и
2
D
соответственно, причем
DDD
=
∩
21
, а
(
)()
zfzf
21
=
в D , то суще-
ствует единственная аналитическая функция
(
)
zF такая, что
()
(
)
()
⎩
⎨
⎧
∈
∈
=
22
11
,
,
Dzzf
Dzzf
zF
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- …
- следующая ›
- последняя »
