Составители:
99
ГЛАВА IV. Ряды Тейлора и Лорана. Вычеты и их применение
§1. Ряд Тейлора
В §5 главы II было показано, что сумма степенного ряда является ана-
литической функцией внутри круга сходимости. Справедливо и обратное ут-
верждение.
Теорема. Функция
(
)
zf
, аналитическая внутри круга Rzz <−
0
, явля-
ется в этом круге суммой степенного ряда
()
()
n
n
n
zzczf
0
0
−=
∑
∞
=
.
Доказательство. Пусть D - круг:
Rzz
<
−
0
. Рассмотрим произ-
вольную точку Dz ∈ . Проведем окружность
ρ
C с центром
0
z и радиусом
ρ
,
причем
ρ
выберем так, чтобы выполнялось
условие
Rzz <
<
−
ρ
0
(см. рис.1).
Ясно, что
DC ⊂
ρ
. Значение функции в
точке
z вычисляется по формуле Коши (см.
гл. 2, §5).
()
()
∫
+
−
=
ρ
ξ
ξ
ξ
π
C
d
z
f
i
zf
2
1
. (1)
Преобразуем дробь
z−
ξ
1
следующим образом
()
0
0
000
1
1111
z
zz
zzzzz
−
−
−
⋅
−
=
−−−
=
−
ξ
ξξξ
.
Поскольку
1
0
0
<
−
−
z
zz
ξ
для
ρ
ξ
C
∈
(см. рис.1), выражение
0
0
1
1
z
zz
−
−
−
ξ
можно рассматривать как сумму ряда геометрической прогрессии со знаме-
нателем по модулю меньшим единицы. Тогда
ρ
z
Рис. 1
|z-z
0
|
z
0
R
|ξ-z
0
|
C
ρ
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- …
- следующая ›
- последняя »
