Составители:
97
С другой стороны, формальное дифференцирование по параметру
0
z в
интеграле типа Коши (1) показывает, что существует производная любого
порядка:
()
()
()
()
∫∫
++
−
=
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
′
LL
z
dz
zz
zf
i
dz
zz
zf
i
zf
2
0
0
0
0
2
11
2
1
ππ
,
()
(
)
()
∫
+
−
=
′′
L
dz
zz
zf
i
zf
3
0
0
2
!2
π
,
()
()
()
∫
+
−
=
′′′
L
dz
zz
zf
i
zf
4
0
0
2
!3
π
и т.д.
Здесь мы опускаем обоснование возможности дифференцирования по
параметру
0
z под знаком интеграла.
Итак, получили
()
()
(
)
()
∫
+
+
−
=
L
n
n
dz
zz
zf
i
n
zf
1
0
0
2
!
π
, K,2,1=n (6)
или
(
)
()
()
()
0
1
0
!
2
zf
n
i
dz
zz
zf
n
L
n
⋅=
−
∫
+
+
π
. (7)
Замечание. В параграфе «Степенные ряды» этот факт был уже уста-
новлен. Формулы (6) и (7) играют важную роль в приложениях.
Пример 2. Вычислить интеграл
∫
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
L
dz
z
zz
3
2
sin2
π
по контуру
21: =−zL .
Решение. В данном случае
2
0
π
=z , и контур 21 =−z охватывает
точку
2
π
, поэтому применим формулу (7) и получим:
()
i
i
zz
i
dz
z
zz
z
L
π
π
π
π
π
22
2
2
sin2
!2
2
3
2
sin2
2
=⋅=
″
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
+
∫
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- …
- следующая ›
- последняя »
