Составители:
96
(
)
()
0
0
2 zfidz
zz
zf
L
⋅=
−
∫
+
π
(5)
а)
()
zzf cos=
,
0
0
=z
. Контур 1
=
z охватывает точку 0, поэтому
iidz
z
z
L
ππ
20cos2
cos
=⋅=
∫
+
.
б) Контур
12 =−z точку 0 не охватывает, следовательно, функция
z
zcos
является аналитической в области с границей
L
, тогда в силу теоремы
Коши интеграл от нее равен 0.
0
cos
=
∫
+
L
dz
z
z
.
Заметим, что интеграл
dx
x
x
∫
cos
, где
x
- действительная переменная,
является неберущимся.
Для действительной функции действительного переменного из сущест-
вования конечной производной не следует непрерывность этой производной.
В случае же функции комплексного переменного имеет место следующее
важное утверждение.
Утверждение. Если однозначная функция
(
)
zf
комплексного пере-
менного имеет всюду в области
D первую производную, то она имеет в этой
области и производные всех высших порядков.
Доказательство. Пусть
0
z - произвольная точка области D и
L
-
кусочно-гладкий замкнутый контур, окружающий точку
0
z , лежащий со все-
ми своими внутренними точками в области
D . Применяя формулу Коши,
имеем:
()
(
)
∫
+
−
=
L
dz
zz
zf
i
zf
0
0
2
1
π
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- …
- следующая ›
- последняя »
