Составители:
94
Эта функция является аналитической во
всех точках области
D
, кроме точки
0
zz
=
.
Опишем около точки
0
z , как центра, окруж-
ность
γ
произвольно малого радиуса
ρ
, це-
ликом лежащую в области
D (рис. 10).
Функция
(
)
z
ϕ
будет аналитической во всех
точках, лежащих между контурами
L
и
γ
, включая и сами контуры. Следо-
вательно, на основании теоремы Коши (см. §3) имеем:
() ()
∫
∫
++
=
γ
ϕϕ
dzzdzz
L
. (3)
Это равенство показывает, что значение
()
∫
+
γ
ϕ
dzz
не зависит от радиу-
са
ρ
вспомогательной окружности
γ
, будучи постоянным числом, равным
значению
()
∫
+
L
dzz
ϕ
. Чтобы определить это постоянное значение, заметим,
что функция
(
)
z
ϕ
стремится к определенному конечному пределу, когда точ-
ка
z стремится к точке
0
z
.
Действительно, из равенства (2) следует:
()
(
)
(
)
()
0
0
0
0
0
limlim zf
zz
z
f
z
f
z
zz
′
=
−
−
=
→→
ζ
ϕ
.
Следовательно, если принять
(
)
0
zf
′
за значение функции
()
z
ϕ
в точке
0
zz = , то
()
z
ϕ
становится непрерывной функцией всюду в замкнутой облас-
ти
D
. Значит,
()
z
ϕ
ограничена, то есть
(
)
Mz
<
ϕ
, где
M
- некоторая посто-
янная величина, какова бы ни была точка z области D . Оценим последний
интеграл из равенства (3):
()
ρπϕ
γ
2⋅<
∫
+
Mdzz ,
L
Рис. 10
γ
z
0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- …
- следующая ›
- последняя »
