Составители:
93
Для аналитической функции комплексного переменного справедлив
аналог формулы Ньютона-Лейбница, которая позволяет вычислить ком-
плексный интеграл от непрерывно дифференцируемой функции в односвяз-
ной области, если известна ее первообразная:
() ()
()
0
0
zFzFdttf
z
z
−=
∫
.
Пример 2. Вычислить
∫
i
dzz
2
sin
π
.
Решение.
()
zzf sin= . Первообразная этой функции
()
z
cos− , тогда,
применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим:
()
2
0
22
coscoscossin
1
2
2
22
−−
+
=+
+
−=+−=−=
∫
eeee
izdzz
ii
i
i
π
π
π
.
§5. Формула Коши
Пусть функция
()
zf является аналитической в односвязной области D
с границей
L
. Это значит, что функция
(
)
zf имеет определенную конечную
производную в каждой точке области
D . Формула Коши, которая будет до-
казана, позволяет выразить значения функции
(
)
zf во всякой внутренней
точке области
D через значения этой функции на контуре
L
. Отсюда выте-
кает, что значения аналитической функции тесно связаны между собой, так
как ее значения вдоль замкнутого контура
L
вполне определяют ее значения
внутри
L
. Эта формула имеет вид:
()
(
)
∫
+
−
=
L
dz
zz
zf
i
zf
0
0
2
1
π
(1)
Доказательство. Введем в рассмотрение функцию
()
(
)
(
)
0
0
zz
zfzf
z
−
−
=
ϕ
. (2)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- …
- следующая ›
- последняя »
