Составители:
91
§4. Первообразная функция
Пусть функция
()
zf задана в области
D
.
Определение 1. Функцию
(
)
zF , заданную в области D , назовем пер-
вообразной для функции
(
)
zf , если для всех Dz
∈
выполняется равенство
(
)
(
)
zfzF
=
′
.
Из теоремы Коши вытекает следующая важная теорема.
Теорема. Пусть функция
(
)
zf
непрерывно дифференцируема в одно-
связной области
D . Тогда в этой области существует первообразная
(
)
zF
для функции
(
)
zf .
Доказательство. Функция
(
)
zf
непрерывно дифференцируема, а
значит аналитическая в области
D . Тогда интеграл от
()
zf не зависит от пу-
ти интегрирования, а зависит от начальной и конечной точек пути. Зафикси-
руем точку
0
z , выбранную произвольным образом в области
D
и рассмот-
рим функцию
() () ( )
ζζ
dfdzzfzF
L
z
z
∫∫
==
0
, (1)
где
ζ
- промежуточный аргумент,
L
- любая кривая, соединяющая точку
0
z
с точкой
z , и лежащая в области D . В силу следствия из теоремы Коши
функция
()
zF однозначно определена.
Покажем, что функция
(
)
zF , определенная формулой (1) и есть перво-
образная для функции
()
zf
.
Возьмем приращение
z
∆
достаточно малым, чтобы Dzz ∈∆+ . Так как
интеграл не зависит от пути, то соединим точки
z и zz ∆
+
отрезком прямой.
Найдем приращение функции
(
)
zF , соответствующее z∆ :
( ) () () () ()
ζζζζζζ
dfdfdfzFzzFF
zz
z
z
z
zz
z
∫∫∫
∆+
∆
+
=−=−∆+=∆
00
.
Оценим величину:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- …
- следующая ›
- последняя »
