Составители:
89
() ()
∫
∫
++
=
21
LL
dzzfdzzf
.
Доказательство непосредственно
вытекает из теоремы Коши.
Теорема. Пусть
D - многосвязная область, граница
L
которой состоит
из внешнего контура
0
L и внутренних контуров
1
l ,
2
l , …,
n
l (см. рис. 6).
Справедлива формула:
() () ()
∫
∫
∫
+++
++=
nn
L
dzzfdzzfdzzf
ll
K
0
. (2)
В этом заключается обобщение теоре-
мы Коши на случай многосвязной области.
Доказательство. Соединим все
контуры
0
L ,
1
l , …,
n
l гладкими непересе-
кающимися кривыми
1
m ,
2
m , …,
1+n
m . Тогда
область
D
разобьется на две области
1
D и
2
D , являющиеся односвязными и для них
справедлива теорема Коши для функции
(
)
z
f
:
() ()
0
2
.
1
.
=+
∫
∫
++
DгрDгр
dzzfdzzf
.
Выберем направление обхода внешней
границы
0
L
, а затем с сохранением направле-
ния укажем обход границы областей
1
D и
2
D .
Заметим, что гладкие пути
1
m ,
2
m , …,
1+n
m
будут обходится дважды в противоположных
направлениях и интегралы по ним
Рис. 5
y
0
x
L
2
L
1
z
z
0
D
L
0
ℓ
1
Рис. 6
D
1
D
2
ℓ
n
L
0
ℓ
1
Рис. 7
ℓ
n
m
1
m
n
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- …
- следующая ›
- последняя »
