Составители:
88
значит, двойные интегралы равны 0, а, соответственно,
()
0=
∫
+
L
dzzf
. Тео-
рема доказана.
Замечание. Роль контура
L
может исполнять и граница самой области
D
, если
()
z
f
непрерывна на
L
,
Пример 1. Вычислить интеграл
∫
−
L
z
dz
1
2
по окружности
12:
=
−
izL .
Решение. Функция
()
1
1
2
−
=
z
zf является аналитической во всех
точках комплексной плоскости, кроме точек
1
1
=
z , 1
2
−
=
z . Так как эти точки лежат вне ок-
ружности
L
, то подынтегральная функция
(
)
zf
является аналитической в области, ограничен-
ной контуром
L
, а в силу теоремы Коши, инте-
грал от нее по контуру
L
равен 0.
Пример 2. Вычислить
∫
L
dzz
, где
L
- окружность с центром в 0, радиу-
са 2.
Решение. Контур
L
имеет уравнение
it
ez 2
=
,
[
]
π
2;0∈t
. Поэтому
it
ez
−
= 2 ,
it
iez 2=
′
и получим:
idtidtieedzz
itit
L
π
π
π
8422
2
0
2
0
==⋅=
∫∫∫
−
.
Интеграл отличен от 0. Это не противоречит теореме Коши, так как
()
z
z
f
= не является аналитической функцией.
Следствие. Пусть функция
(
)
zf является аналитической в односвяз-
ной области
D и
1
L и
2
L - кривые, лежащие в этой области и имеющие об-
щие концы (рис. 5). Тогда интегралы по этим кривым равны:
Рис. 4
y
0 -1
x
2i
1
L
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- …
- следующая ›
- последняя »
