Теория функций комплексного переменного. Александрова Е.Б - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

86
5. Оценка модуля интеграла:
()
l⋅≤
∫
Mdzzf
L
, (5)
где
()
LzMzfM ∈∀≤ ,: ; l - длина кривой
L
.
Из неравенства (5) можно получить более точное неравенство:
() ()
∫∫
≤
LL
dzzfdzzf .
Пример 1. Вычислить
∫
L
dzz
2
, где
L
- нижняя половина окружности
{}
2: =zz (направление обхода указано на рис.2).
Решение. Дугу
L
можно задать уравнени-
ем
it
ez 2
=
,
[
]
π
π
2,
∈
t . Тогда
it
iez 2=
′
и потому
имеем:
()
==⋅=
∫∫∫
π
π
π
π
2
3
2
2
2
822 dteidtieedzz
tiitit
L
() ()()
+−=−+=+=
∫
ππ
π
π
π
π
π
π
3sin6sin
3
8
3cos
3
8
3sin
3
8
3sin3cos
2
2
2
2
ititidttit
()()()
3
16
11
3
8
03cos6cos
3
8
=−−+=−+
ππ
.
Пример 2. Вычислить
∫
−
L
az
dz
, где
L
- окружность с центром в точке
a , радиуса
, пробегаемая против часовой стрелки.
Решение. Окружность
L
можно задать уравнением:
it
eRaz += , где
[
]
π
2,0∈t . Тогда
it
eiRz =
′
, и потому:
idtidt
eR
eiR
az
dz
it
it
L
π
π
π
2
2
0
2
0
===
−
∫∫∫
.
Рис. 2
y
0 -2
x
-2
2

Страницы