Составители:
84
ложительном направлении вдоль кривой
L
. Обозначим
kkk
zzz
−
=∆
+1
,
1,,2,0
−
= n
k
K
.
Составим сумму произведений вида
()
∑
−
=
∆
1
0
n
k
kk
zzf . (1)
Назовем величину
{
}
k
z
∆
= max
λ
рангом разбиения кривой
L
. Введем обо-
значения:
kkk
iyxz += ,
(
)
(
)
(
)
ivuyxivyxuzf
kkkkkkk
+
=
+
= ,, ,
kkk
yixz ∆+∆=
∆
.
Подставим в сумму (1) и получим:
() ( )( ) ( )
+∆−∆=∆+∆+=∆
∑∑∑
−
=
−
=
−
=
1
0
1
0
1
0
n
k
n
k
kkkkkkkkk
n
k
k
yvxuyixivuzzf
()
∑
−
=
∆+∆+
1
0
n
k
kkkk
yuxvi . (2)
Устремим
0→
λ
. Тогда обе суммы правой части последнего равенства (2)
стремятся соответственно к пределам:
∫
−
L
vdyudx и
∫
+
L
udyvdx ,
следовательно, левая часть равенства (2) стремится к определенному конеч-
ному пределу, когда длины всех частичных дуг по произвольному закону
стремятся к нулю. Этот предел и назовем
интегралом от функции
(
)
zf по
кривой
L
и обозначим
()
∫
L
dzzf .
Итак, имеем
()
∫
∫
∫
++−=
LLL
udyvdxivdyudxdzzf , (3)
эта формула дает выражение интеграла по комплексному переменному через
два действительных криволинейных интеграла II рода.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- …
- следующая ›
- последняя »
