Составители:
87
Аналогично можно показать, что
()
dzaz
L
n
∫
− , 1−≠n , всегда равен 0.
Итак, получили:
()
⎩
⎨
⎧
−≠
−
=
=−
∫
1,0
1,2
n
ni
dzaz
L
n
π
. (6).
§3. Теорема Коши для односвязной области и ее обобщение на
многосвязную область
Пусть
()
zf - аналитическая в односвязной области D функция.
Теорема (Коши). Интеграл от аналитической функции
()
zf в одно-
связной области по любому замкнутому контуру, лежащему внутри этой об-
ласти, равен 0, то есть
()
0=
∫
+
L
dzzf
. (1)
Доказательство. Обозначим через G
область, границей которой
является замкнутый контур
L
, целиком лежащий
в односвязной области D . По формуле (3) §2
данной главы имеем:
()
∫
∫
∫
+++
++−=
LLL
udyvdxivdyudxdzzf
.
К каждому из криволинейных интегралов, стоящих в правой части это-
го равенства, применим формулу Грина, тогда получим:
()
dxdy
y
v
x
u
idxdy
y
u
x
v
dzzf
GG
L
∫∫∫∫∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−=
+
.
Так как
(
)
zf является аналитической в области D , то для ее мнимой и
вещественной частей выполнены условия Коши-Римана, тот есть
y
v
x
u
∂
∂
=
∂
∂
;
x
v
y
u
∂
∂
−=
∂
∂
,
D
L
G
Рис. 3
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- …
- следующая ›
- последняя »
