Составители:
133
а)
()
zf - аналитическая в верхней полуплоскости, кроме конечного числа по-
люсов
k
z ,
N
k
,,1 K
=
, лежащих выше вещест-
венной оси
O
x
;
б)
(
)
0lim
=
⋅
∞→
zfz
z
.
Пусть
D
– область, ограниченная полу-
окружностью
Rz
=
, 0Im ≥z и отрезком
[
]
RR ;
−
,
причем число
R
настолько велико, что все полюсы
k
z
,
N
k
,,1 K= , содер-
жатся внутри
D (см. рис.3).
Тогда
() () ( ) ()
zfidxxfdzzfdzzf
N
k
k
z
R
R
C
∑
∫∫∫
=
−
++
=+=
1
Res2
π
γ
, (14)
где
+
C - контур полукруга, а
+
γ
- дуга полуокружности, проходимые против
часовой стрелки.
Оценим
()
dzzf
∫
+
γ
по модулю:
() () ()
zfzzfRdzzf
RzRz
⋅=≤
==
+
∫
maxmax
ππ
γ
.
При
∞
→
R
∞→z , а, следовательно, в силу условия б), имеем
()
0→
∫
+
dzzf
γ
.
Тогда, переходя к пределу при
∞
→
R
в равенстве (14), получаем:
() ()
zfidxxf
N
k
k
z
∑
∫
=
+
∞
∞−
=
1
Res2
π
. (15)
Пример 7. Вычислить интеграл
()
∫
∞
+
0
3
2
1x
dx
.
Рис. 3
z
0 x R
y
γ
-R
z
1
z
2
z
N
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- …
- следующая ›
- последняя »
