Составители:
17
Решение. По формулам (1) и (2) получаем
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−++
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⋅=⋅
24
3
sin
24
3
cos23
21
ππππ
izz
2323
4
sin
4
cos6 ii +=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
π
π
.
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
24
3
sin
24
3
cos
2
3
2
1
ππππ
i
z
z
iii 2323
4
3
sin
4
3
cos
2
3
4
5
sin
4
5
cos
2
3
−−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
ππππ
.
Пусть
()
ϕ
ϕ
si
n
cos i
r
z += . Тогда из формулы (1) следует, что при на-
туральном
n справедливо соотношение
(
)
(
)
(
)
ϕϕ
ninrz
nn
sincos +=
, (3)
которое называется формулой Муавра.
Пример 2. Вычислить
10
2
3
2
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− i
.
Решение. Представим число
2
3
2
1
i−
в тригонометрической форме.
Получим
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅=−
3
sin
3
cos1
2
3
2
1
ππ
ii
.
Далее, по формуле Муавра вычисляем
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
3
10
sin
3
10
cos1
2
3
2
1
10
10
ππ
ii
2
3
2
1
3
2
sin
3
2
cos
3
4
sin
3
4
cos
iii +−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
ππππ
.
Определение 1. Комплексное число
w называется корнем n-ой сте-
пени из комплексного числа
z , если
n
wz
=
.
При этом пишут
n
zw = .
Пусть
()
ϕ
ϕ
sincos i
r
z
+= ,
(
)
ψ
ψ
ρ
sincos iw
+
=
.
Имеем
n
wz = , следовательно, на основании формулы Муавра
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »
