Составители:
18
n
r
ρ
= ,
k
n
π
ϕ
ψ
2+= , где
k
- целое число.
Отсюда,
n
r=
ρ
,
n
k
π
ϕ
ψ
2+
=
,
k
- целое число.
Тогда
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
+
==
n
k
i
n
k
rzw
nn
π
ϕ
π
ϕ
2
sin
2
cos
,
k
- целое число. (4)
В силу периодичности функций синус и косинус число различных зна-
чений корня
n -ой степени из комплексного числа z равно n , поэтому для их
вычисления в формуле (4) достаточно использовать
n значений
k
:
1,,2,1,0 −= n
k
K . Модули этих чисел равны
n
r
- арифметический ко-
рень
n -ой степени из вещественного числа
r
, а аргументы различаются на
число, кратное
n
π
2
.
Все корни изображаются на ком-
плексной плоскости – вершинами пра-
вильного
n - угольника (см. рис. 8), впи-
санного в окружность с центром в точке
0
=
z и радиусом
n
z .
Пример 3. Решить уравнение
1
6
=
z .
Решение. Решениями уравнения являются все корни
6
1=w . Пред-
ставим число 1 в тригонометрической форме
(
)
0sin0cos11 i
+
=
.
Тогда по формуле (4) получим
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
+
===
−−
6
20
sin
6
20
cos111
666
k
i
k
w
числавенного
вещестизкорень
скийарифметиче
числаного
комплекс
изкорень
π
π
4342143421
.
Будем придавать
k
значения от 0 до 5 и вычислим 6 корней
1
w
, …,
6
w
:
n
0
ϕ
n
2π
n
2π
n
|z|
x
Рис. 8
y
0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
