Теория функций комплексного переменного. Александрова Е.Б - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

24
Поставим в соответствие каждой точке
M
плоскости
Z
точку
M
~
пересечения луча NM
и сферы. Этим устанавливается взаимно одно-
значное соответствие между точками плоскости
и сферы, проколотой в северном полюсе (точке
N
не соответствует ни одна точка плоскости).
Построенное соответствие между точками
проколотой сферы и плоскости
Z
:
{
}
NSZ \: →
ϕ
,
называют
стереографической проекцией сферы на плоскость.
Точка
M
~
- сферическое изображение комплексного числа z называет-
ся
стереографической проекцией точки
M
на сферу
S
.
Если точка
M
~
сферы пробегает меридиан, то точка
M
пересечения
луча
M
~
с плоскостью
Z
пробегает луч, проходящий через точку 0 ; а если
точка
M
~
описывает параллель, то точка
M
описывает окружность с центром
0 . Отсюда следует, что сетка географических координат на сфере переходит
при стереографической проекции в сетку полярных координат на плоскости
Z
. При этом как меридианы и параллели на сфере, так и координатные ли-
нии полярных координат на плоскости пересекаются друг с другом под пря-
мыми углами, то есть углы при проектировании не изменяются.
При таком изображении комплексному числу
0
=
z ставится в соответ-
ствие точка
()
0;0;0O сферы
S
; комплексным числам с одинаковыми аргу-
ментами (лучам плоскости
Z
, исходящим из начала координат) – «меридиа-
ны», а комплексным числам с одинаковыми значениями модуля
z (окружно-
стям плоскости
Z
с центром в начале координат) – «параллели».
При стереографической проекции северному полюсу
N
не соответст-
вует ни одна точка плоскости
Z
. Чтобы восстановить взаимную однознач-
ность отображения, дополним плоскость бесконечно удаленной точкой. Что-
бы и она получила комплексную координату, пополним множество ком-
()
ζηξ ,,M
~
S
N
ζ
0
x
y
η
ξ
21
M(x,y,0)
Рис. 1

Страницы