Составители:
26
ζ
ζ
−
=+
1
22
yx .
Отсюда
22
22
1 yx
yx
++
+
=
ζ
. (3)
Подставляя (3) в (1), получим
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
++
=
++
=
22
22
1
1
yx
y
yx
x
η
ξ
. (4)
Окончательно имеем
2
1 z
x
+
=
ξ
;
2
1 z
y
+
=
η
;
2
2
1 z
z
+
=
ζ
. (5)
Формулы (5) называются
формулами стереографической проекции и
позволяют найти координаты точки
M
~
сферы
S
, зная координаты точки
M
,
изображающей комплексное число
iy
x
z
+
=
.
Пример 1. Найти и построить стереографическую проекцию точки
iz 31 += .
Решение.
iz 31 += , 1=
x
, 3=y .
Тогда
(
)
231
2
2
=+=z
. Используя формулы
(5) получим:
5
1
=
ξ
,
5
3
=
η
,
5
4
=
ζ
.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
5
4
,
5
3
,
5
1
~
M
(см. рис.2).
Замечание. Равенства (1) являются формулами обратного преобразова-
ния.
Стереографическое проектирование обладает важным свойством: при
этом отображении окружности на комплексной плоскости переходят в ок-
ружности на сфере Римана и, наоборот, окружностям на сфере Римана, не
54
53
51
M
~
S
N
ζ
0
x
y
η
ξ
21
Рис. 2
1
3
1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- …
- следующая ›
- последняя »
