Теория функций комплексного переменного. Александрова Е.Б - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

27
проходящим через полюс
N
, соответствуют окружности на комплексной
плоскости. Докажем это для окружности на плоскости
z с центром в начале
координат и радиусом
R
:
222
Ryx =+ .
Доказательство.
222
Ryx =+ . Отсюда
2
2
Rz = , Rz = .
()
2
222
1 Rx +=
ξ
,
(
)
2
222
1 Ry +=
η
. Тогда
()
2
2
2
22
1 R
R
+
=+
ηξ
;
2
2
1
R
R
+
=
ζ
. Таким образом, искомое множество –
кривая пересечения сферы Римана и плоскости параллельной плоскости
Z
.
Особым случаем является окружность, проходящая через полюс
N
.
Эта окружность – сечение сферы Римана плоскостью
0
=
+
++ D
C
B
A
ζ
η
,
где
0=+ D
C
, то есть
⎩
⎨
⎧
=++
=+
+
+
ζζηξ
ζ
η
222
0DCBA
, где 0
=
+
D
C
.
Используя формулы (5) получим:
0
111
2
2
22
=+
+
+
+
+
+
D
z
z
C
z
y
B
z
x
A
. Умножим на
2
1 z+ :
()
0
2
=++++ DzDCByAx . Так как 0
=
+
D
C
, то 0
=
+
+ D
By
Ax
-
уравнение прямой комплексной плоскости. Таким образом, окружности сфе-
ры Римана, проходящей через полюс
N
соответствует прямая комплексной
плоскости.
И обратно, любой прямой
0
=
+
+
D
By
Ax
комплексной плоскости со-
ответствует окружность на сфере Римана, проходящая через полюс
N
.
Пример 2. Найти и построить стереографическую проекцию множест-
ва точек комплексной плоскости, заданного неравенством
3>z .
Рассмотрим сначала стереографическую проекцию окружности
3
=
z .
Это будет окружность
100
9
22
=+
ηξ
(
)
3,0
=
r , получающаяся при пересече-

Страницы