Составители:
29
Сходящиеся ряды можно почленно складывать и умножать на ком-
плексное число, при этом полученные ряды тоже сходятся.
На основании понятия предела комплексной числовой последователь-
ности легко убедиться в справедливости следующей теоремы:
Теорема 1. Ряд
∑
∞
=1n
n
u с комплексными членами сходится тогда и
только тогда, когда сходятся два ряда с вещественными членами:
∑
∞
=1
Re
n
n
u и
∑
∞
=1
Im
n
n
u .
Ряд
K+
+
++ 21 nn
uu называется n-м остатком ряда (1) и обозначают
K++=
++ 21 nnn
uu
r
.
Тогда для сходящегося ряда можно записать
nn
rSS +
=
и для любого
0>
ε
можно определить такой номер N, что
ε
<
n
r при
N
n ≥ .
Теорема 2. (необходимый признак сходимости)
Если ряд (1) сходится, то
0lim
=
∞→
n
n
u .
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы
для случая числового ряда с вещественными членами.
Из теоремы 2 следует, что если общий член ряда (1) не стремится к ну-
лю, то ряд расходится.
Наряду с рядом (1) рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов
KK
+
+
+
+
n
uuu
21
. (3)
Ряд (3) является числовым рядом с вещественными членами.
Теорема 3. Если сходится ряд (3), то сходится и ряд (1), который в
этом случае называется абсолютно сходящимся.
Обратное утверждение неверно, так как существуют ряды сходящиеся,
но не абсолютно. Такие ряды называют условно сходящимися.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- …
- следующая ›
- последняя »
