Составители:
31
ГЛАВА 2 Функции комплексного переменного
§1. Основные определения
Понятие функции комплексного переменного определяется подобно
тому, как это делается в случае действительного переменного.
Определение 1. Функцией комплексного переменного называется ото-
бражение f некоторого комплексного числового множества D в комплексное
числовое множество G.
Если каждому значению Dz
∈
соответствует лишь одно значение
G
w ∈ , то функция называется однозначной, если же некоторым z соответст-
вует более чем одно значение
w , то функция называется многозначной.
Для обозначения функции пользуются обозначением:
()
zfw = .
Множество
D называется областью определения функции
(
)
zf , а со-
вокупность соответствующих значений
(
)
zf
называется множеством значе-
ний
функции.
Обозначим
iy
x
z += , а i
v
uw
+
=
, где vu
y
x
,,, - действительные чис-
ла, тогда
(
)
(
)
(
)()
yxivyxuiyxfzfivuw ,,
+
=
+
=
=+= . (1)
Вещественная и мнимая части функции комплексного переменного
представляют собой функции вещественной и мнимой частей независимого
переменного
z :
()
yxuu ,= и
(
)
yxvv ,
=
.
Пример 1. Пусть
2
zw = и iy
x
z
+
=
. Найти
(
)
yxu , и
()
yxv ,
Решение.
()
(
)
xyiyxyxyixiyxw 22
2222
2
+−=−+=+= . Отсюда
()
22
Re, yxwyxu −== ,
(
)
xywyxv 2Im,
=
=
.
Функции
()
zfw = соответствуют две функции от двух вещественных
переменных. Обратно, если заданы функции
(
)
yxuu ,
=
и
()
yxvv ,= , то им
соответствует функция комплексного переменного, определяемая равенством
(1).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
