Теория функций комплексного переменного. Александрова Е.Б - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

37
Производная аналитической функции есть функция аналитическая. Это
означает, что у аналитической функции существуют производные любого
порядка.
Правила дифференцирования произведения, суммы и частного функ-
ций, сложной и обратной функции действительного переменного остаются в
силе и для функций комплексного переменного. Справедливо и определение
дифференцируемости.
Теорема 1. Для того, чтобы функция комплексного переменного
() ( ) ( )
yxivyxuzfw ,, +== была дифференцируемой в точке
000
iyxz
+
= , не-
обходимо и достаточно, чтобы функции
(
)
yxu , и
(
)
yxv , были дифференци-
руемы в точке
(
)
00
, yx , и чтобы в этой точке выполнялись равенства
y
v
x
u
∂
∂
=
∂
∂
,
x
v
y
u
∂
∂
−=
∂
∂
. (1)
Условия (1) называются
условиями Коши-Римана или Д’Аламбера-
Эйлера
.
Доказательство. 1) Необходимость.
Пусть
()
(
)
00
zfzzff
−
∆+
=
∆ . Так как функция
()
zf имеет производ-
ную в точке
0
z
, то
f
∆ представимо в виде
(
)
(
)
zzzBiAf
∆
∆
+
∆
+
=
∆
α
, (2)
где
(
)
0
zfBiA
′
=+ ,
()
z∆
- бесконечно малая более высокого порядка мало-
сти, чем
z∆
. Обозначим:
(
)
(
)
0000
,, yxuyyxxuu
−
∆
+
∆
+
=
∆
(
)
(
)
0000
,, yxvyyxxvv
−
∆
+
∆
+
=
∆
yi
x
z
∆
+
∆
=
∆ ,
тогда
v
iu
f
∆+∆=∆ или
( )( ) () ()
zzyBxBiyAixAzzyixBiAf
∆
∆+∆
−
∆
+
∆
+
∆
=
∆
∆
+∆+∆+=∆
α
α
.
Это означает, что справедливы равенства:
(
)
(
)
zzyBxAu
∆
⋅
∆
+∆
−
∆=∆
α
Re (3)
(
)
(
)
zzyAxBv
∆
⋅
∆
+∆
+
∆=∆
α
Im . (3*)

Страницы