Теория функций комплексного переменного. Александрова Е.Б - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГПУ им. Герцена | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

38
Из (3) и (3*) следует, что функции
(
)
yxu , и
(
)
yxv , дифференцируемые
в точке
()
00
, yx . Причем в этой точке
A
y
v
x
u
=
∂
∂
=
∂
∂
, B
x
v
y
u
−=
∂
∂
−=
∂
∂
. (4)
2) Достаточность.
Пусть функции
()
yxu , и
(
)
yxv , в точке
(
)
00
, yx дифференцируемы и
справедливы равенства (1). Покажем, что
(
)
zfw
=
дифференцируема в точке
0
z
.
Так как функции
()
yxu , и
(
)
yxv , - дифференцируемые в точке
(
)
00
, yx ,
то справедливы равенства
()()
zzy
y
u
x
x
u
u ∆⋅∆+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆
α
Re , (5)
()()
zzy
y
v
x
x
v
v ∆⋅∆+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆
α
Im . (5*)
Обозначим
A
y
v
x
u
=
∂
∂
=
∂
∂
, B
x
v
y
u
=
∂
∂
−=
∂
∂
(учитываем условия (1)). Тогда
равенства (5) и (5*) примут вид:
(
)
(
)
zzyBxAu
∆
⋅
∆
+∆
−
∆=∆
Re ,
(
)
(
)
zzyAxBv
∆
⋅
∆
+∆
+
∆=∆
Im .
Но тогда
(
)
(
)
(
)
(
)
+∆
⋅
∆
+
∆
+
∆
+
∆−∆=∆+∆=∆ zzyAxBiyBxAviuf
Re
()()()
(
)
(
)
(
)
(
)
z
z
z
Bi
A
z
z
y
i
x
Bi
A
z
z
i
∆
⋅
+∆+
=
∆
⋅
∆
+
∆
+
∆
+=∆⋅∆+
α
α
α
Im
А это означает, что функция
(
)
zf
дифференцируема в точке
000
iyxz += , то есть имеет производную.
Условия Коши-Римана позволяют выразить производную функции
()
zfw = через частные производные функций
(
)
yxu , и
()
yxv , . В равенстве
(2)
()
iBAzf +=
′
0
, где А и В выражаются формулами (4). Тогда получаем,
что

Страницы