Составители:
39
()
i
y
u
y
v
i
x
v
x
u
zf
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
′
.
Пример 1. Доказать, что функция
2
zw = дифференцируема лишь в
точке
0
0
=z и найти
()
0w
′
.
Решение. Поскольку
22
2
yxzw +== , то
()
22
, yxyxu += ,
()
0, =yxv . Эти функции имеют частные производные в любой точке. Но
x
x
u
2=
∂
∂
, y
y
u
2=
∂
∂
, 0=
∂
∂
=
∂
∂
y
v
x
v
и поэтому условия Коши-Римана выполняют-
ся лишь в одной точке
0
0
=z
. Сама производная
()
00
0
0
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
′
=
=
y
x
x
v
i
x
u
w
.
Пример 2. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции
1
1
−
=
z
w
.
Где эта функция является дифференцируемой?
Решение. Пусть
iy
x
z
+
=
любое комплексное число, кроме 1
=
z
,
тогда
()
()
()
()
()
()
2
2
2
2
2
2
11
1
1
1
1
1
yx
y
i
yx
x
yx
iy
x
iyx
w
+−
−
+
+−
−
=
+−
−
−
=
+−
=
,
()
()
2
2
1
1
,
yx
x
yxu
+−
−
=
,
()
()
2
2
1
,
yx
y
yxv
+−
−= .
Найдем частные производные функций
(
)
yxu , и
()
yxv , :
()
()
()
2
22
2
2
1
1
yx
xy
x
u
+−
−−
=
∂
∂
,
(
)
()
()
2
22
2
2
1
1
yx
xy
y
v
+−
−−
=
∂
∂
,
()
()
()
2
22
1
12
yx
xy
y
u
+−
−
−=
∂
∂
,
(
)
()
()
2
2
2
1
12
yx
xy
x
v
+−
−
=
∂
∂
.
Отсюда видно, что условие Коши-Римана выполнено во всех точках
области определения функции
w
(
)
1
≠
z , то есть во всех этих точках функция
1
1
−
=
z
w
является дифференцируемой.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »
