Составители:
40
Пусть функция
(
)
zfw = дважды непрерывно дифференцируема в об-
ласти
D. В силу условий Коши-Римана функции
(
)
yxu , и
()
yxv , тоже дваж-
ды непрерывно дифференцируемы, причем для них выполняются равенства
(1). Дифференцируя обе части первого равенства (1) по
х, а второго – по у,
получаем:
xy
v
x
u
∂∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
,
yx
v
y
u
∂∂
∂
−=
∂
∂
2
2
2
.
Но так как в области
D непрерывны частные производные
xy
v
∂∂
∂
2
и
yx
v
∂∂
∂
2
, то в ней выполняется равенство
yx
v
xy
v
∂∂
∂
=
∂∂
∂
22
, а отсюда получаем:
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u
. Аналогично доказывается, что 0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
v
.
Итак, доказана следующая
Теорема 2. Для того, чтобы функция
(
)
yxu , (соответственно
(
)
yxv , )
была действительной (соответственно мнимой) частью функции комплексно-
го переменного
()
zfw = , имеющей непрерывную вторую производную в об-
ласти
D, необходимо, чтобы в этой области функция
(
)
yxu , (соответственно
()
yxv , ) имела непрерывные частные производные второго порядка, удовле-
творяющие условию:
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u
(6)
(соответственно
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
v
).
Равенство (6) является дифференциальным уравнением в частных про-
изводных второго порядка, его называют
уравнением Лапласа. Функцию
двух переменных, удовлетворяющую уравнению Лапласа называют
гармони-
ческой
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
