Составители:
41
Пример 3. Доказать, что функция
()
22
,
yx
x
yx
+
=
ϕ
является гармони-
ческой на всей плоскости, кроме точки
(
)
0;0 .
Решение.
()
3
22
23
2
2
62
yx
xyx
x
+
−
=
∂
∂
ϕ
,
()
3
22
23
2
2
62
yx
xyx
y
+
+−
=
∂
∂
ϕ
,
()
3
22
322
26
yx
yyx
yx
+
−
=
∂∂
∂
ϕ
.
Эти функции непрерывны всюду, кроме точки
(
)
0;0 , причем
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
yx
ϕϕ
.
Значит,
(
)
yx ,
ϕ
- гармоническая всюду, кроме точки
()
0;0 .
Оказывается, что в случае, когда область
D – односвязна, установлен-
ные в теореме 2 условия являются не только необходимыми, но и достаточ-
ными для того чтобы
()
yxu , была действительной частью (соответственно
()
yxv , - мнимой) дважды дифференцируемой функции комплексного пере-
менного.
Из теоремы 2 вытекает, что
(
)
yxu , и
(
)
yxv , аналитической функции
являются гармоническими функциями.
Если взять за
()
yxu , и
(
)
yxv , две произвольные гармонические функ-
ции, то функция
() ( )
(
)
yxivyxuzf ,,
+
= , вообще говоря, не будет аналитиче-
ской в области.
В случае, если
()
zf - аналитическая функция, то
()
yxu , и
()
yxv , назы-
ваются
сопряженными или сопряженными гармоническими функциями.
Зная одну из гармонических сопряженных функций можно восстано-
вить другую. Для того чтобы получить алгоритм восстановления функции
()
yxv , по заданной функции
(
)
yxu , напомним утверждение, доказанное в
теории функций многих переменных:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
