Составители:
42
Если в односвязной области
D выполняется равенство
x
Q
y
P
∂
∂
=
∂
∂
, при-
чем частные производные
y
P
∂
∂
и
x
Q
∂
∂
непрерывны в D, то в D существует та-
кая функция
()
yxv , , что
()
yxP
x
v
,=
∂
∂
,
()
yxQ
y
v
,=
∂
∂
.
Это означает, что алгоритм нахождения функции по ее полному диф-
ференциалу и алгоритм восстановления функции
(
)
yxv , по известной функ-
ции
()
yxu , совпадает. Покажем это на примере.
Пример 4. Найти аналитическую функцию
(
)
zf , действительная часть
()
yxu , которой равна
23
3xyx − .
Решение. Из условий Коши-Римана имеем:
y
v
yx
x
u
∂
∂
=−=
∂
∂
22
33 ,
x
v
xy
y
u
∂
∂
==
∂
∂
− 6 .
Теперь можно восстановить
(
)
yxv , с точностью до постоянной
()
(
)
()
∫∫
++−=−=
∂
∂
= Cxyxydyyxdy
y
v
yxv
ϕ
3222
333,
() ()
∫∫
++==
∂
∂
= Cyxyxydxdx
x
v
yxv
ψ
2
36, .
Сравнивая полученные выражения получим, что
()
0=x
ϕ
,
(
)
3
yy −=
ψ
.
Окончательно имеем:
()
Cyxyyxv +−=
32
3, .
Тогда
()
zf будет иметь вид:
()
(
)
(
)
Cyxyixyxzf +−+−=
3223
33 ,
R
C
∈
.
Заменяя в этом выражении
2
zz
x
+
= ,
i
zz
y
2
−
=
и выполняя необходи-
мые упрощения, окончательно получаем:
(
)
Cizzf +=
3
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- …
- следующая ›
- последняя »
