Составители:
44
Зададим переменной
0
z приращение z
∆
такое, чтобы точка
10
l∈∆+= zzz . Тогда соответствующая точка www ∆
+
=
0
будет лежать на гладкой кривой
1
L . Пусть z
∆
=
arg
1
ψ
, w∆=Ψ arg
1
.
При
0→∆z будет 0→∆w . Тогда углы наклона хорд будут стремиться к уг-
лам наклона касательных, то есть
1
0
1
lim
ψ
ϕ
→∆
=
z
;
1
0
1
lim Ψ
=
Φ
→∆w
.
Так как
()
z
w
zf
z
∆
∆
=
′
→∆ 0
0
lim , и zw
z
w
∆−∆=
∆
∆
argargarg , то получим
()
π
ϕ
π
ψ
α
111111
0
22lim mm
z
+
−
Φ=
+
−Ψ=
→∆
,
1
m
- целое, то есть
α
- есть раз-
ность углов наклона касательных к
1
L в точке
0
w и к
1
l в точке
0
z . Иначе
говоря,
α
- угол поворота при переходе от
1
l к
1
L в результате отображения.
В этом состоит геометрический смысл аргумента производной.
Так как кривая
1
l
взята произвольным образом, то, применяя прове-
денные рассуждения для другой гладкой кривой
2
l , проходящей через
0
z , и
ее образа
2
L , проходящего через
0
w , получим
π
ϕ
α
222
2m
+
−
Φ
=
.
Отсюда следует, что
2211
ϕ
ϕ
−
Φ
=
−
Φ
.
Иначе говоря, угол между кривыми
1
L и
2
L равен углу между кривы-
ми
1
l
и
2
l
. Итак, при отображении осуществляемом аналитической функци-
ей углы между гладкими кривыми и их образами сохраняются (сохраняются
их величина и ориентация).
Далее рассмотрим модуль производной
()
z
w
zfk
z
∆
∆
=
′
=
→∆ 0
0
lim .
Тогда
()
zk
z
w
∆+=
∆
∆
β
,
(
)
zzzkw
∆
⋅
∆
+
∆
⋅
=
∆
β
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
