Составители:
45
Так как
k
одно и то же для любых приращений z∆ , то это означает,
что «малая окрестность
0
z » при отображении
f
преобразуется подобно в
«малую окрестность
0
w ». Число
k
является при этом коэффициентом подо-
бия – это и есть геометрический смысл модуля производной. Если
1>
k
- в
результате отображения происходит растяжение, если
1<
k
, то сжатие.
То есть мы показали, что отображение, осуществляемое аналитической
функцией, является конформным первого рода.
Из доказанного следует, что
(
)
0
ar
g
zf
есть угол поворота касательной в
любой кривой, проведенной через точку
0
z , при ее отображении при помощи
()
zfw = на плоскости UO
V
.
Модуль
()
0
zf
′
показывает, во сколько раз z
∆
меньше или больше со-
ответствующего
w∆ , то есть
(
)
0
zf
′
можно рассматривать как величину
масштаба в точке
0
z
при отображении
(
)
zfw
=
.
Если
()
1
0
>
′
zf , то происходит растяжение бесконечно малого элемен-
та, выходящего из точки
0
z ; если
(
)
1
0
<
′
zf , то происходит сжатие; если
()
1
0
=
′
zf , то масштаб не меняется.
Величину
()
0
zf
′
называют коэффициентом растяжения.
Пример 5. Найти угол поворота и коэффициент растяжения для ото-
бражения
3
zw = в точке iz
+
=
1
0
.
Решение. Так как
(
)
2
3zzf =
′
, то
(
)
(
)
iizf 613
2
0
=+=
′
,
(
)
6
0
=
′
zf ,
()
2
arg
0
π
=
′
zf
.
Поэтому угол поворота равен
2
π
, а коэффициент растяжения равен 6.
Если взять весьма малый отрезок
MM
0
, выходящий из точки
()
iM +1
0
, то его образ при отображении
3
zw
=
будет почти совпадать с от-
резком
NN
0
, выходящим из точки
(
)
(
)
(
)
iNiN 221
0
3
0
+−=+ , причем отрезок
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- …
- следующая ›
- последняя »
