Составители:
47
()
(
)
(
)
ε
ε
ε
<
−
⇒>=∃>∀ zSzSNnzNN
n
:,0 .
Заметим, что в общем случае
N
зависит и от
ε
и от
z
.
Определение 2. Функциональный ряд (1) называется
равномерно схо-
дящимся в области
G
, если последовательность его частичных сумм сходит-
ся в
G
равномерно, то есть если
()
(
)
(
)
ε
ε
ε
<
−
⇒>∀=∃>∀ zSzSNnNN
n
:0 для всех z из области
G
.
В случае равномерной сходимости удается подобрать номер
(
)
ε
N , об-
щий для всех
z
из
G
.
Теорема
(признак Вейерштрасса равномерной сходимости)
Если все члены ряда (1) в области
D удовлетворяют условию
(
)
nn
azf
≤
,
где
n
a
- вещественные положительные числа, и числовой ряд
∑
∞
=1n
n
a сходится,
то данный ряд (1) сходится равномерно (и при этом абсолютно) в области
D
.
Доказательство. По условию имеем
(
)
nn
azf
≤
, Dz
∈
∀
, K,2,1
=
n
и ряд
∑
∞
=1n
n
a сходится. Тогда для всех Dz
∈
сходится ряд
()
∑
∞
=1n
n
zf , а, значит
сходится и ряд
()
∑
∞
=1n
n
zf . Причем справедлива оценка
() () ()
(
)
(
)
(
)
ε
<
+
+≤
+
+
≤
+
+=−
++++++
KKK
212121 nnnnnnn
aazfzfzfzfzSzS
при
()
ε
Nn ≥∀
для всех Dz ∈ .
Равномерно сходящиеся ряды обладают весьма важными свойствами:
1). Если члены функционального ряда (1) непрерывны в некоторой области
D и ряд равномерно сходится в этой области к функции
()
zS , то
(
)
zS
также непрерывна в
D .
2). Если функции
()
zf
n
являются аналитическими в некоторой области D ,
а ряд (1) равномерно сходится в любой замкнутой подобласти
G
облас-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- …
- следующая ›
- последняя »
