Составители:
48
ти
D к функции
()
zS , то
(
)
zS является аналитической функцией в области
D , при этом
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
zSzfzf
k
kk
=++ K
21
,
ряд
()
()
∑
∞
=1n
k
n
zf сходится равномерно в G .
§5. Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
()
(
)
KK +−++−+
n
n
zzczzcc
0010
, (1)
где
0
z ,
0
c ,
1
c , … - постоянные комплексные числа.
Очевидно, что степенной ряд (1) всегда сходится в точке
0
z .
Для определения области сходимости степенного ряда важную роль
играет следующая теорема:
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в некоторой точке
01
zz ≠ , то он абсолютно сходится и в любой точке z , удовлетворяющей ус-
ловию
010
zzzz −<− , причем в круге
ρ
≤
−
0
zz ,
01
zz −
<
ρ
ряд (1) сходит-
ся равномерно (см. рис.1)
Доказательство. Выберем произволь-
ную точку
z , удовлетворяющую условию
010
zzzz
−
<
−
, то есть z лежит внутри круга с
центром в точке
0
z и радиусом
01
zz − и рас-
смотрим в этой точке ряд (1):
()
∑
−
∞
=
0
0
n
n
n
zzc .
Обозначим
010
zzqzz −
=
−
, 1<q .
Ряд
()
∑
−
∞
=
0
01
n
n
n
zzc сходится по условию теоремы, следовательно, в силу
необходимого условия сходимости:
(
)
0
01
→−
n
n
zzc при
∞
→n .
z
0
ρ
z
1
|z
1
-z
0
|
Рис. 1
z
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- …
- следующая ›
- последняя »
