Составители:
49
Тогда существует такая постоянная
M
, что
Mzzc
n
n
≤−⋅
01
,
откуда получаем оценку
n
n
zz
M
c
01
−
≤
.
Тогда
∑
=
∑
−
−
∑
≤−⋅
∞
=
∞
=
∞
=
00
01
0
0
0
n
n
n
n
n
n
n
n
qM
zz
zz
Mzzc .
Ряд
∑
∞
=
0n
n
q , 1<q есть сходящийся ряд геометрической прогрессии, сле-
довательно, ряд
∑
−⋅
∞
=
0
0
n
n
n
zzc - сходится, а тогда исходный ряд
()
∑
−
∞
=
0
0
n
n
n
zzc
сходится абсолютно.
Покажем равномерную сходимость ряда
()
∑
−
∞
=
0
0
n
n
n
zzc в круге
ρ
≤−
0
zz ,
01
zz −<
ρ
.
Рассмотрим ряд
∑
−
∞
=
0
01
n
n
n
zz
q
M
. Он мажорирует исходный ряд и сходит-
ся как ряд прогрессии со знаменателем, меньшим единицы. Тогда по призна-
ку Вейерштрасса степенной ряд (1) равномерно сходится в круге
ρ
≤
−
0
zz .
Следствие 1. Если степенной ряд (1) расходится в некоторой точке
1
z ,
то он расходится и во всех точках
z , удовлетворяющих неравенству
010
zzzz
−
>
−
(см. рис. 2).
Доказательство. Предполагая
противное, получим, что по теореме Абеля
ряд должен сходится в любом круге радиуса
01
zzr
−
<
, в частности и в точке
1
z , что
противоречит условию.
z
0
z
1
Рис. 2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- …
- следующая ›
- последняя »
