Составители:
51
торых
D
zz
1
0
>− (в этом случае нарушится необходимое условие сходимо-
сти ряда (1)). Значит,
D
R
1
=
, откуда имеем
1
lim
+
∞→
=
n
n
n
c
c
R
. (3)
Если
0=D , то это означает, что
(
)
()
0lim
0
1
01
=
−
−
+
+
∞→
n
n
n
n
n
zzc
zzc
для любого z , то
есть ряд (1) сходится на всей комплексной плоскости и
∞=
R
. Если же
∞=D , то
()
()
∞=
−
−
+
+
∞→
n
n
n
n
n
zzc
zzc
0
1
01
lim при всяком
0
zz
≠
, то есть ряд (1) расходит-
ся при
0
zz ≠ , и поэтому 0
=
R
.
Заметим, что последние два случая вполне согласуются с формулой (3).
Замечание. Аналогично, применяя к ряду
()
∑
−
∞
=0
0
n
n
n
zzc признак Коши,
может быть получена формула
n
n
n
c
R
1
lim
∞→
= , (4)
которая называется формулой Коши-Адамара.
Пример 1. Найти радиус и круг сходимости ряда
()
()
∑
+
−
∞
=
1
2
1
n
n
n
in
iz
.
Решение. Найдем
R
по формуле (3).
()()
()
2
1
1lim21
1
lim
1
11
limlim
22
2
12
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
+
++
==
∞→∞→
+
∞→
+
∞→
n
i
n
n
in
in
c
c
R
nn
n
n
n
n
n
n
.
Тогда
2=
R
, а круг сходимости 2<− iz .
Пример 2. Найти область сходимости ряда
()
∑
−
∞
=1
1
n
n
n
zn .
Решение. Применим для нахождения
R
формулу (4).
0
1
lim
1
lim
1
lim ====
∞→∞→∞→
n
n
c
R
n
n
n
n
n
n
n
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
